GEOMETRIJSKO FIZIČKE KARAKTERISTIKE ŠUTA U KOŠARCI...

Kratak pregled istorije nastanka i razvoja košarke Stvarni nastanak košarke - "basketa" vezuje se za ime Kanađanina dr. Džemsa Naismita (1861-1939). Naismit je bio teolog, profesor biologije, a zatim i fizičkog vaspitanja na IMKA koledžu u malom mestu Springfild (Masačusets, SAD) u blizini kanadske granice. Međutim, mnogo manje je poznata činjenica da je košarka stvorena svesnom pedagoškom akcijom na zahtev pedagoga, kao uslov vremena i odnosa u jednoj studentskoj mladalački buntovnoj sredini kojoj dotadašnji sistem fizičkog vaspitanja po svojim sadržajima (strojeve vežbe i vežbe na spravama) u zimskim mesecima nije bio dovoljno atraktivan i dinamičan. Naismit je posle dugog razmišljanja i eksperimentisanja, uspeo da definiše ideju nove igre iz koje su proizašli pet temeljnih principa buduće igre:

1. Igraće se okruglom, velikom i lakom loptom isključivo rukama;
2. Neće se dozvoliti hodanje ili trčanje sa loptom u rukama;
3. Cilj će biti malih dimenzija, horizontalno postavljen i izdignut iznad poda;
4. Igraće dve ekipe jedna protiv druge bez nasrtanja na telo protivnika i bez ličnog dodira sa njim;
5. Svaki igrač u bilo kom trenutku moći će da se postavi sa i bez lopte na bilo kom delu igrališta.

Nakon toga, održane su demonstracije nove igre koja dobija svoj zvanični naziv: "basketbol", kao proizvod reči: basket (korpa) i bal (lopta). Obruči su u početku bili sa zatvorenim mrežicama koje su imale lančić čijim povlačenjem nadole se izbacivala ubačena lopta napolje. Iza obruča su se nalazile mrežaste table (približnih dimenzija današnjim) koje su sprečavale vatrene navijače košarke da ometaju pogotke rukama. 1906. godine ovakve table su zamenjene drvenim, pa se ova godina smatra i prekretnicom u dotadašnjem načinu šutiranja. Posle postavljanja drvenih tabli, igrači su primetili da je moguće postići koš indirektno, tj. da lopta prvo dotakne tablu, pa tek posle odbijanja ode u koš. Radi bolje vidljivosti nešto kasnije se uvode table od pleksiglasa koje su bile providne. Prema autobiografskim podacima koje je zapisao sam Naismit, prvi koš je postigao Vilijam Čejz, rodonačelnik svih budućih strelaca. Ovaj koš je postignut na prvoj eksperimentalnoj košarkaškoj utakmici, čiji je datum 21. decembar 1891. godine.

Košarka se prvi put pojavila na olimpijskim igrama 1936. godine u Berlinu, premda je još ranije 1935. godine u Ženevi organizovano Prvo evropsko prvenstvo u košarci. Nagli razvoj košarke u svetu, pa i kod nas usledio je nakon Drugog svetskog rata. Usledila su brojna svetska prvenstva u košarci, i to: 1954. godine u Brazilu, 1959. u Čileu, 1963. ponovo u Brazilu, 1967. u Urugvaju,..., 2002. godine u Indianapolisu (SAD). Prvo svetsko prvenstvo održano van američkog kontinenta, je Šesto svetsko prvenstvo koje je održano u Jugoslaviji 1969. godine kada uznapredovala jugoslovenska košarka donosi našoj zemlji prvi put zlatnu medalju. Pored ovih značajnih takmičenja pod nazivom FIBA održavaju se i šampionati svih kontinenata, Međunarodne igre, Univerzijada, Balkanijada, kao i druga eminentna takmičenja.

dr. Džems Naismit - tvorac košarke u poznijim godinama, sa identičnim korpama za breskve, koje su poslužile kao prvi koševi

Značaj i cilj istraživanja
Težeći da svaki šut realizujem uspešno, došao sam do zaključka da šutiranje bez analize, a nakon toga isinteze u što kraćem vremenskom periodu ne znači mnogo. Uočio sam da su zakoni šutiranja - prirodni zakoni, i da svako narušavanje ovih zakona -vodi neuspehu. Nisam imao prilike da koristim "gotova rešenja" i "blokove razmišljanja" preko kompjuterskih programa, koji se danas navodno koriste u svetu da bi se poboljšao sistem šutiranja. Krenuo sam dužim putem tragajući za uzročno-posledičnim vezama u samom procesu šutiranja, a za takav rad je potrebno uvođenje matematike i fizike u košarku, i obrnuto. Ove nauke nam se, upravo kroz košarku pokazuju u putanjama kojima se lopta kreće, a koje su predstavljene kao krive linije drugog reda, pri čemu ćemo najpre uočiti parabolu. Međutim, pri rotacijama lopte u toku njenog leta -vidi se da parabola nije jedina kriva linija koja se u procesu šutiranja pokazuje, već se tu predstavljaju i drugi oblici kretanja koji sačinjavaju krive višeg reda, što ovog puta nije predmet mog proučavanja.

Šut možemo posmatrati kao kosi hitac lopte prema apsolutnom nepokretnom sistemu (košarkaška tabla sa obručem). Stoga se sa pravom može reći da šutiranje, kao elemenat košarkaške tehnike -predstavlja kraljevski elemenat, krunu svega rada u košarci. To je ujedno najvažniji elemenat, jer zahteva besprekornu tačnost. Zbog toga se šutiranju mora posvetiti velika pažnja.

Zadatak ovog ogleda je bio da se iz celokupnog procesa šutiranja izdvoji kretanje lopte u određenom vremenskom periodu nakon davanja impulsa koji joj igrač uputi, te da se nakon toga analizira putanja kretanja lopte. Ogledom je izučavana familije parabola pri različitim elevacionim uglovima izbačene lopte. U radu prikazaću dve karakteristične putanje za elevacione uglove izbačene lopte od 45° i 60°.

Važno je napomenuti da ogledom nije proučavana stvarna putanja kod kosog hica (balistička kriva), koja izgleda nešto drugačije zbog otpora vazduha.


Parabola leta lopte
Visina leta lopte, trajektorija ili popularnije - parabole od nastanka košarke interesovala Je trenere i igrače, pa Je već u prvim priručnicima napravljena neka njena klasifikacija na: nisku, srednju i visoku parabolu. Kao i u svim drugim područjima, preporučivana je "zlatna sredina", odnosno ni preniska, ni previsoka parabola, koja je prihvatana bez analize i potvrde ovog empirijskog saznanja.

Korišćenje parabole nametnuto je činjenicom da se cilj - obruč nalazi na relativno velikoj visini (3,05 m) i da je postavljen uhorizontalnoj ravni, te se pogodak može postići isključivo šutiranjem u paraboli.

Pravac i smer brzine kretanja lopte kod kosog hica određuje elevacioni ugao, odnosno ugao pod kojim je lopta izbačena određenom početnom brzinom. ovaj ugao gradi oštar ugao sa pozitivnim smerom X-ose i postaje sve manji ukoliko je tačka (lopta) na putanji udaljenija od svog polaznog položaja. Na kraku parabole koji pada, ugao postaje tup (tangens je negativan). Zbog toga se ovaj ugao pod kojim lopta dolazi do obruča koša naziva upadni ugao. Elevacioni ugao određuje upadni ugao lopte. Upadni ugao lopte je merilo visine parabole. Od uspešnog upadnog ugla pod kojim lopta prolazi kroz obruč koša zavisi preciznost šuta, odnosno što je upadni ugao manji , pravac lopte mora da bude tačniji. Sve ovo potvrđuje prednost viših i visokih parabola koje se koriste u modernoj košarci. Međutim, kod visokih parabola postoje dve opasnosti:

1. Lopta prelazi dug put krećući se ulaznom putanjom ka temenu parabole. U toj fazi leta moguće su, i pravilima dozvoljene intervencije odbrambenih igrača, koji "skidaju" lopte sa visine od preko četiri metra.
2. Prelazeći dug put prema košu, greške koje nastaju u doziranju impulsa prema jačini ili pravcu, koje igrač saopštava lopti, povećavaju se proporcionalno dužini pređenog puta.

Uzimajući u obzir i ove činjenice, kao i na osnovu iskustva, preporučljivo je šutirati parabolom čiji upadni ugao iznosi 58°.

Mogućnost izvođenja ogleda
1. Preciznost šutiranja
Mogućnost izvođenja ogleda je u direktnoj funkciji od preciznosti šutera kao izvora sile impulsa koji se predaje lopti. Najznačajniji činioci koji utiču na preciznost šutiranja su: biomehanički činioci i psihološki činioci šutiranja. Biomehanički činioci predstavljaju naš organizam kao energetski agregat u kome se određenim biohemijskim postupkom stvara energija kretanja (kinetička energija) koja je neophodna za šutiranje. Psihološki faktori podrazumevaju: snagu volje, htenje, koncentraciju pažnje, samopouzdanje i uverenosti koji u različitim uslovima utiču na preciznost. Stoga se sa pravom može reći da ogledu može pristupiti i sa uspehom ga izvršiti šuter visokog stepena preciznosti. To se postiže višegodišnjim vežbanjem u individualnom procesu razvoja uz neminovno vođenje dnevnika šutiranja i kontrole preciznosti. Procenat uspešnosti mora biti na najnižem nivou bioloških funkcija bar 60%.

2. Spoljašnji činioci koji utiču na mogućnost izvođenja ogleda
Spoljašnji činioci koji utiču na mogućnost izvođenja ogleda, kao i na sam kvalitet ogleda, prvenstveno zavise od prostora gde se izvodi ogled (otvoreni ili zatvoreni prostor). Ako se ogled izvodi na otvorenom prostoru, šuter je najviše podložan negativnim atmosferskim uticajima: vetar, kiša, sneg, jaka sunčana svetlost itd. Takođe, negativno mogu da utiču i kvalitet podloge (beton, asfalt), kap i kvalitet izrade same lopte.

Mesto i vreme izvođenja ogleda
Ogled je izvođen u zatvorenom prostoru: 0F0 sala u gradskoj hali "MOSTONGA" u Somboru. Vreme izvođenja ogleda je period u trajanju od 1. juna 2003. godine do 1. marta 2004. godine. Eksperimentalne vežbe vršene su dva puta nedeljno u vremenskom trajanju od 90 minuta (najčešće: od 10-11,30 h ili od 14-15,30 h).

Potreban pribor i oprema
Potreban pribor i materijal za vršenje ogleda jeste:

1. Drvena košarkaška tabla dimenzije (l,80 m x l,20 m) unutar koje je ucrtan pravougaonik dimenzije (0,59 m x o,45 m). Na tabli je pričvršćen obruč u horizontalnoj ravni prečnika o,45 m. Obruč je postavljen na visini 3,05 m od poda. Sa obruča su skinute mrežice.
2. Okrugla lopta od specijalnog materijala marke "MOLTEN". Izmerena masa lopte je 0,60 kg, a prečnik lopte je 0,24 m.
3. Aluminijumski stalci visine 2,5 m.
4. Merna traka dužine 10,0 m. Traka je baždarena na milimetre, centimetre i metre.
5. Libela.
6. Drveni školski uglomer baždaren u stepenima.
7. Aluminijumski štapovi dužine 1,50 m spojeni na jednom svom kraju vijkom, tako da grade odgovarajući oštar ugao.
8. Digitalna štoperica reda tačnosti 0,01 s.

Postupak izvođenja ogleda
Za uspešno obavljanje ogleda, osim šutera, potrebna su još dva asistenta koji vrše podešavanje pribora, merenje, dužine, uglova i vremena. Šutiranje se vrši jednom rukom iz mesta (tzv. "osnovni šut"). Sektori iz kojih se vrši šutiranje evidentirani su kao:

• a) bočni levi (BL) i bočni desni (BD) sa podoznakama (BL3) i (BD3)
• b) krajnji levi (KL) i krajnji desni (ED) sa podoznakama (KL3) i (KD3).

Šutiranje iz centralnog sektora (C) nije obuhvaćeno ogledom, jer se zbog mogućeg odbijanja lopte pri prolazu kroz obruč koša od table, ne može odrediti udarna tačka na paraboli, odnosno tačka gde putanja lopte u silaznoj fazi seče X-osu (horizontalnu ravan u kojoj leži merna traka).

Oba štapa visine 2,5 m postavljaju se tako da vrhovi štapova zajedno sa središtem obruča koša grade tri kolinearne tačke koje određuju pravac zamišljene vertikalne ravni koja seče normalno horizontalnu ravan poda. Prvi štap se postavlja odmah iza linije 6,25 m u polje jednog od gore navedenih sektora, a drugi štap se postavlja u vertikalnoj ravni na udaljenosti 7,50 m od prvog štapa. Na vrhovima oba štapa vijcima je uvrnuta merna traka, Obavezno se mora izvršiti nivelacija libelom čime se utvrđuje da li se merna traka nalazi u horizontalnoj ravni. Prvi asistent postavlja aluminijumske štapove dužine l,50 m tako da kraci ugaonika zaklapaju odgovarajući ugao 45° ili 60°). Uglove koje zaklapaju kraci ugaonika podešavaju se baždarenim uglomerom.

Pripremljen ugaonik asistent postavlja naspram ramena šutera, pri čemu je jedan krak ugaonika paralelan sa podlogom, a drugi krak je paralelan sa pravcem ruke koja vrši izbacivanje lopte. Drugi asistent se nalazi naspram drugog vertikalno postavljenog štapa, a zadatak mu je da štopericom meri vreme od trenutka kada je lopta izbačena do trenutka kada lopta prođe kroz obruč koša, kao i da obeleži mesto na mernoj traci gde je lopta prošla. Lopta pri prolazu kroz obruč koša ne sme da dodirne obruč. Šuter izvodi 15 pokušaja koji imaju "čisti" prolaz kroz obruč koša. Izmerene vrednosti za vreme (ti) i daljinu dometa izbačene lopte (Dxi) se unose u pripremljene tabele br. 1 i br. 2 za odgovarajući elevacioni ugao izbačene lopte, pri čemu se analizom upoređuju izmereni rezultati.

IZRAČUNAVANJE  (tsr),   (Dsr),    (?ti)I   (?Di)
Posle izvršenih 15 merenja za vreme leta lopte (ti) i daljinu dometa izbačene lopte (Dxi), sledi da se računskim putem izračuna "srednje" vreme (tsr), kao i "srednja" daljina dometa izbačene lopte (Dsr). Zatim sam izvodio proračun grešaka pri merenju navedenih fizičkih veličina (?ti) i (?Dxi), a dobijene podatke sam uneo u tabelu 1. za elevacioni ugao izbačene lopte: 45°, atabelu 2. unosio sam podatke za elevacioni ugao izbačene lopte: 60°.

Elevacioni ugao izbačene lopte: 45°

Greške pri merenju vremena (ti):

.
.
.

Srednja vrednost (Dxsr1) za daljinu dometa izbačene lopte

Greške pri merenju daljine dometa izbačene lopte (Dxi):

.
.
.

Elevacioni ugao izbačene lopte 60°

Srednja vrednost za izmereno vreme (tsr2):

Greške pri merenju daljine dometa izbačene lopte (Dxi):

.
.
.

Elevacioni ugao izbačene lopte: 60°
Srednja vrednost za izmereno vreme (tsr2):

Greške pri merenju vremena (ti):

.
.
.

Srednja vrednost (Dxsr2) za daljinu dometa izbačene lopte:

Greške pri merenju daljine dometa izbačene lopte (Dxi):

.
.
.

TABELA 1.
Elevacioni ugao izbačene lopte: 45°

Analiza putanje izbačene lopte sa linije 6,25m pri različitim elevacionim uglovima izbačene lopte (45° i 60°)
Elevacioni ugao: 45°
Izmereni podaci:

• Daljina dometa (daljina mesta prolaza lopte kroz horizontalnu ravan u kojoj leži merna traka):
• Vreme leta lopte od trenutka kada je lopta izbačena do trenutka kada je lopta prošla kroz obruč koša:
  Ugao izbačene lopte u odnosu na horizontalnu ravan: 1=45°.

Intenzitet horizontalne komponente početne brzine ()

Intenzitet vertikalne komponente početne brzine ()

Iz gore navedenog sledi da je za elevacioni ugao od 45°:

Vrednost komponente puta duž H ose:

Vrednost komponente puta duž U ose:

Dobijene jednačine predstavljaju parametarske jednačine
kosog hica (lopte), u kojima je parametar promenjivo vreme (t).
To znači da za svaku datu vrednost (t) dobijamo određene vrednosti za x i y koje nam određuju koordinate tačke (lopte) u kojoj se izbačena lopta nalazi u posmatranom trenutku. Eliminisanjem vremena (t) dobićemo jednačinu za sve kose hice u pravouglom koordinatnom sistemu:

Provera () preko jednačine putanje kosog hica:

Intenzitet brzine u ma kojoj tački putanje, ako je poznata početna brzina i ordinata posmatrane tačke ():

Vertikalna komponenta brzine ():

                                                
Provera podataka pomoću vremena ():

Najveća visina koju postiže izbačena lopta pod elevacionim uglom od 45° ():

Vreme za koje lopta dostigne svoju najveću visinu za elevacioni ugao izbačene lopte od 45° ():

                                             
Vreme za koje lopta pređe celu svoju putanju od trenutka izbacivanja lopte do trenutka kada lopta prođe kroz udarnu tačku parabole (T1):

Proračun za upadni ugao lopte ():

TABELA 2.
Elevacioni ugao izbačene lopte: 60o

Elevacioni ugao: 60°
Izmereni podaci:

• Daljina dometa (daljina mesta prolaza lopte kroz horizontalnu ravan u kojoj leži merna traka): Dxsr2=6,60m
• Vreme leta lopte od trenutka kada je lopta izbačena do trenutka kada je lopta prošla kroz obruč koša: tsr2=1,45s
• Ugao izbačene lopte u odnosu na horizontalnu ravan: 2=60o

Intenzitet horizontalne komponente početne brzine ()

Intenzitet vertikalne komponente početne brzine ()

Vrednost komponente puta duž H ose:

Vrednost komponente puta duž U ose:

Provera () preko jednačine putanje kosog hica:

Intenzitet brzine u ma kojoj tački putanje, ako je poznata početna brzina i ordinata posmatrane tačke ():

Vertikalna komponenta brzine ():

Provera podataka pomoću vremena ():

Najveća visina koju postiže izbačena lopta pod elevacionim uglom od 60° (H2):

Vreme za koje lopta dostigne svoju najveću visinu za elevacioni ugao izbačene lopte od 60° ():

Vreme za koje lopta pređe celu svoju putanju od trenutka izbacivanja lopte do trenutka kada lopta prođe kroz udarnu tačku parabole (T2):

Proračun za upadni ugao lopte ():

Analiza upadnog ugla lopte
Ako upadni ugao iznosi 90°, odnosno ako lopta vertikalno prolazi kroz obruč koša, prečnik obruča iznosi 0,45m. Kako je prečnik lopte o,24 m, pod pretpostavkom da lopta prolazi kroz centar obruča, sa svake strane obruča ostaje po 0,105 m. Kod svakog manjeg ugla od 90°, projekcija prečnika obruča se smanjuje, Ako je upadni ugao lopte 60° prema ravni obruča, projekcija prečnika na ravan normalnu na pravac leta lopte smanjuje se na 0,39 m, jer je:

To znači da za prolaz lopte, pod uslovom da je centrirana po pravcu, ostaje po 0,075 m sa svake strane. Kada se šutira oštrije, pod uglom od 45°, šanse se smanjuju, jer se projekcija prečnika smanjuje na 0,318 m, budući da je:

Dakle, za prolaz lopte ostalo je samo 0,039 m sa svake strane.
Šansa da se postigne pogodak pod još manjim upadnim uglom je minimalna. Kod ugla od 30°, to je već nemoguće, jer se projekcija prečnika smanjuje na:

Iz navedenog proizilazi da je lopta ˝šira˝ za 0,015 m od od prečnika preostalog koridora kroz koji bi trebalo da prođe. Najmanji ugao koji teoretski dozvoljava prolaz lopte kroz obruč koša dobićemo iz sledećeg izraza:

Iz navedenog proračuna uočava se da najmanji upadni ugao koji teoretski dozvljava prolaz lopte kroz obruč koša mora biti veći od 32,23o, jer pri ovom upadnom uglu projekcija prečnika obruča iznosi 24 cm. Svi manji uglovi onemogućavaju prolaz lopte, jer je prečnik lopte ˝u minusu˝ u odnosu na projekciju prečnika obruča. U narednoj tabeli prikazaj je odnos upadnog ugla i projekcije prečnika:

Tabela 5.

Zaključak
1. Verodostojnost i pouzdanost rezultata merenja
Budući da ogled ovakve vrste predstavlja pionirski pokušaj uvođenja matematike i fizike u vrlo složenu strukturu ove oblasti u košarci (šutiranje) - realno je da se postavi pitanje koliko su rezultati ogleda verodostojni i pouzdani. Da bi rezultati ogleda bili što tačniji i verodostojniji, izvršeno je preko 50 ogleda iste vrste u toku 9 meseci. To znači da je izvršeno preko 750 merenja istih fizičkih veličina. Na taj način su se pokušali svesti na minimum svi negativni faktori koji bi mogli uticati na tačnost rezultata dobijenih ogledom. Ovi negativni faktori se prvenstveno pojavljuju kao subjektivni faktori i kao objektivni faktori. Subjektivni faktori se pojavljuju kroz nesavršenost čula samog učesnika u ogledu (šuter), kao neposrednog izvršioca ogleda u celini, ali i kroz nesavršenost čula asistenata koji prate eksperiment i beleže rezultate merenja. Objektivni faktori su u direktnoj funkciji od kvaliteta pribora za merenje. Zaključak je, da tek nakon više stotina merenja istih fizičkih veličina (dužina, ugao, vreme) pod istim uslovima (zatvoren prostor), došlo do grupisanja rezultata merenja čija su međusobna odstupanja zanemarljiva. Za izračunavanje su se koristile Jednačine koje važe za bezvazdušni prostor, jer nije uzet u obzir otpor vazduha. U sredinama sa otporom, stvarna parabola ima strmiju silaznu putanju. To se može uočiti na otvorenom prostoru, naročito pri pojavi vetra koji ima suprotno kretanje od smera kretanja lopte. U zatvorenim prostorima ovih uticaja nema, pa možemo zaključiti da su u takvim prostorima sve tačke na uzlaznoj i silaznoj grani parabole približno simetrične u odnosu na teme parabole. Time zaključujemo da otpori sredine u zatvorenom prostoru bitno ne menjaju rezultate dobijene na osnovu jednačina za bezvazdušni prostor.

2. Potvrda ogleda u praksi
Rad na ovom ogledu ima smisla ukoliko se rezultati dobijeni ogledom mogu primeniti u praksi, dakle, neposredno tokom same igre. Primenom ovih načela šutiranja postao sam dobitnik titule NAJBOLjEG STRELCA TURNIRA U KOŠARCI NA VII OLIMPIJSKIM SPORTSKIM IGRAMA UČENIKA REPUBLIKE SRBIJE ZA SREDNjE ŠKOLE, koje su održane u Zaječaru (Boljevac) od 10. do 12. maja 2004. godine.

Konstrukcija parabole za elevacioni ugao: 45° na osnovu izračunatih koordinata   (x1 i y1) kretanje lopte za promenljive vremenske intervale (ti1)

Tabela 3

ti1(s)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,59	0,70	0,80	0,90	1,00	1,08	1,18
xi1(m)	0,00	0,579	1,159	1,738	2,318	2,898	3,425	4,057	4,636	5,216	5,795	6,259	6,850
yi1(m)	0,00	0,530	0,963	1,297	1,533	1,672	1,712	1,654	1,496	1,243	0,890	0,538	0,000

Konstrukcija parabole za elevacioni ugao: 60° na osnovu izračunatih koordinata  (x2 i y2) kretanje lopte za promenljive vremenske intervale (ti2)

Tabela 4.

ti2(s)	0,00	0,15	0,30	0,45	0,60	0,76	0,90	1,05	1,20	1,35	1,45	1,52
xi2(m)	0,000	0,648	1,297	1,945	2,594	3,300	3,891	4,539	5,188	5,836	6,268	6,600
yi2(m)	0,000	1,013	1,805	2,377	2,727	2,857	2,766	2,455	1,850	1,169	0,544	0,000

		Tweet
		Na vrh strane